P2 Crescimento exponencial
Ecologia de Populações
Fontes: Gotelli, N.J. (2008). A Primer of Ecology. 4ª ed. Sinauer; Stevens, M.H.H. (2009). A Primer of Ecology with R. Springer.
1. Ideia do modelo
Imagine uma população em que cada indivíduo contribui com o mesmo crescimento a cada instante, e nada limita esse crescimento (espaço e comida “de sobra”). Em tempo contínuo, o tamanho \(N\) no tempo \(t\) é:
\[ N_t = N_0 \, e^{r t} \]
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| \(N_0\) | tamanho no início |
| \(N_t\) | tamanho depois de \(t\) unidades de tempo |
| \(r\) | taxa intrínseca de crescimento (por unidade de tempo) |
| \(t\) | tempo decorrido |
| \(e\) | base dos logaritmos naturais (\(\approx 2{,}718\)) |
Como ler o sinal de \(r\):
- \(r > 0\): a população cresce
- \(r = 0\): fica constante
- \(r < 0\): declina
No R, a função exp() calcula \(e^{\ldots}\). Por isso escrevemos N0 * exp(r * t).
Na natureza, recursos e espaço acabam limitando o crescimento. O próximo modelo (logístico, P5) coloca esse freio.
2. Um cálculo simples
População hipotética de bactérias em cultura: \(N_0 = 40\) células, \(r = 0{,}1\) por hora. Quanto vale \(N\) em \(t = 2\), \(4\) e \(8\) horas?
Troque r por 0.15 e depois por -0.08. O que muda no tamanho final?
3. Vários tempos de uma vez
Em vez de calcular ponto a ponto, criamos um vetor de tempos e calculamos \(N_t\) para todos de uma vez:
Agora compare três taxas no mesmo gráfico (declínio, estável e crescimento):
Com log = "y" no matplot, o crescimento exponencial aparece como reta. Experimente acrescentar log = "y" e compare com a escala normal.
4. Explore
Nas anotações: qual curva cresce mais rápido? Qual declina?
O que quebrou?
Corrija o cálculo de \(N_t\).
Dica
Em R use exp(r * t). Não existe a variável e pronta para isso.
Fontes
- Gotelli, N.J. (2008). A Primer of Ecology. 4ª ed. Sinauer.
- Stevens, M.H.H. (2009). A Primer of Ecology with R. Springer.
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