P5 Crescimento logístico

Ecologia de Populações

Fontes: Gotelli, N.J. (2008). A Primer of Ecology. 4ª ed. Sinauer; Stevens, M.H.H. (2009). A Primer of Ecology with R. Springer.

1. Ideia do modelo

No exponencial, \(N\) cresce sem freio. No logístico, o crescimento per capita diminui quando a população se aproxima da capacidade de suporte \(K\). Pense em \(K\) como um equilíbrio (há nascimento e morte, mas o tamanho tende a estabilizar perto desse valor), não como um “teto mágico” inquebrável.

Forma contínua (para ler a ideia):

\[ \frac{dN}{dt} = r N \left(1 - \frac{N}{K}\right) \]

Nesta página usamos um passo discreto simples, fácil de programar:

\[ N_{t+1} = N_t + r_d \, N_t \left(1 - \frac{N_t}{K}\right) \]

Símbolo Significado
\(K\) capacidade de suporte (equilíbrio)
\(r_d\) taxa no intervalo discreto
\(N_t\) tamanho no tempo \(t\)

Quando \(N\) está bem abaixo de \(K\), o termo \((1 - N/K)\) fica perto de 1 e o crescimento parece quase exponencial. Quando \(N\) se aproxima de \(K\), o freio aumenta.

Nota

Com \(r_d\) muito alto, este mapa discreto pode oscilar ou gerar valores estranhos (limite numérico). Nos exemplos abaixo usamos \(r_d\) moderado.

2. Função no R

Dica

A população sobe e se estabiliza perto de \(K = 100\). Isso é o equilíbrio do modelo com \(r_d\) moderado.

3. Diferentes \(N_0\)

Importante

Com \(rd\) moderado e \(N_0 > 0\), as curvas tendem a \(K\). Se \(N_0 = 0\), a população permanece zero. Se \(N_0 > K\), \(N\) cai em direção a \(K\).

4. Explore: mude \(K\) e \(r_d\)

Nas anotações: o que acontece se rd for 1.4? E se K for menor?

O que quebrou?

Queremos o freio \((1 - N/K)\), mas o código está invertido. Corrija.

Dica

O termo certo é (1 - N / K), não (1 - K / N).

Fontes

  • Gotelli, N.J. (2008). A Primer of Ecology. 4ª ed. Sinauer.
  • Stevens, M.H.H. (2009). A Primer of Ecology with R. Springer.

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